Khái niệm về hàm mệnh đề
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5".
Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
- Thay n = 100 ta được mệnh đề đúng: "Số 100 chia hết cho 5".
- Thay n = 101 ta được mệnh đề sai: "Số 101 chia hết cho 5".
Ví dụ 2: "x + 3 > 7".
Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 > 7 chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi một số thực cụ thể, chẳng hạn:
- Thay x = 0 ta được mệnh đề sai: "0 + 3 > 7".
- Thay x = 5 ta được mệnh đề đúng: "5 + 3 > 7".
Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại".
Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn "ông A" là "Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại".
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề (hoặc vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến). Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó.
Ta dùng ký hiệu: T(n), F(x),... để chỉ các hàm mệnh đề.
Chẳng hạn:
- Hàm mệnh đề T(n): "Số tự nhiên n chia hết cho 5" có miền xác định là tập các số tự nhiên N. Tập các số tự nhiên có tận cùng bằng 0 hoặc 5 là miền đúng của T(n).
- Hàm mệnh đề F(x) = "x + 3 > 7" có miền xác định là các số thực. Tập các số thực lớn hơn 4 ta gọi là miền đúng của hàm mệnh đề F(x).
Mệnh đề tồn tại
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
| "Tồn tại x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho T(x)" |
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tồn tại. Ký hiệu là:
∃ x ∈ X : T ( x ) {\displaystyle \exists x\in X:T(x)}
hoặc
∃ x T ( x ) {\displaystyle \exists x\ T(x)}
x ∈ X {\displaystyle x\in X}
Ký hiệu ∃ {\displaystyle \exists } gọi là lượng từ tồn tại.
Ví dụ:
- "Tồn tại số thực x sao cho x + 4 > 7" là mệnh đề đúng.
Ký hiệu là: ∃ x : x + 4 > 7 {\displaystyle \exists x:x+4>7}
- "Tồn tại số tự nhiên n sao cho n chia hết cho 5" là mệnh đề đúng.
Ký hiệu là: ∃ n ∈ N : n ⋮ 5 {\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} :n\ \vdots \ 5}
- "Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0" là mệnh đề sai.
Ký hiệu là: ∃ x : x 2 + 1 = 0 {\displaystyle \exists x:x^{2}+1=0}
Chú ý:
1. Trong thực tế, mệnh đề tồn tại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn:
- "Tồn tại ít nhất một x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho T(x)".
- "Có một x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho T(x)".
- "Có ít nhất một x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho T(x)".
- "Ít ra cũng có một người là nhà toán học".
- "Một số người là nhà toán học".
- "Có nhiều người là nhà toán học"
- ..................
2. Ta dùng ký hiệu ∃ ! x ∈ X : T ( x ) {\displaystyle \exists !x\in X:T(x)} với nghĩa "Tồn tại duy nhất một x ∈ X {\displaystyle x\in X} sao cho T(x)".
Mệnh đề tổng quát
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X} ta có..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
| "Với mọi x ∈ X {\displaystyle x\in X} ta có T(x)" |
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập,...). Ký hiệu là:
∀ x ∈ X , T ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,\ T(x)}
hoặc
( ∀ x ∈ X ) T ( x ) {\displaystyle (\forall x\in X)\ T(x)}
hoặc
∀ x T ( x ) {\displaystyle \forall x\ T(x)}
x ∈ X {\displaystyle x\in X}
Ký hiệu ∀ {\displaystyle \forall } gọi là lượng từ tổng quát (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập,...)
Phủ định của mệnh đề tồn tại và tổng quát
Phủ định các mệnh đề tồn tại và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc dưới đây:
∃ x ∈ X : T ( x ) ¯ ≡ ∀ x ∈ X , T ( x ) ¯ v a ` ∀ x ∈ X , T ( x ) ¯ ≡ ∃ x ∈ X : T ( x ) ¯ {\displaystyle {\overline {\exists x\in X:T(x)}}\equiv \forall x\in X,{\overline {T(x)}}\ \ v{\grave {a}}\ \ {\overline {\forall x\in X,T(x)}}\equiv \exists x\in X:{\overline {T(x)}}}
Như vậy, hai mệnh đề:
- ∃ x ∈ X : T ( x ) {\displaystyle \exists x\in X:T(x)} và ∀ x ∈ X , T ( x ) ¯ {\displaystyle \forall x\in X,{\overline {T(x)}}} là phủ định của nhau.
- ∀ x ∈ X , T ( x ) {\displaystyle \forall x\in X,T(x)} và ∃ x ∈ X : T ( x ) ¯ {\displaystyle \exists x\in X:{\overline {T(x)}}} là phủ định của nhau.
Ví dụ:
- Co\ mot\ so\ tu\ nhien\ n\ chia\ het\ cho\ 5 ¯ {\displaystyle {\overline {\textrm {Co\ mot\ so\ tu\ nhien\ n\ chia\ het\ cho\ 5}}}}
≡ Moi\ so\ tu\ nhien\ n\ deu\ khong\ chia\ het\ cho\ 5. {\displaystyle \equiv {\textrm {Moi\ so\ tu\ nhien\ n\ deu\ khong\ chia\ het\ cho\ 5.}}} Ký hiệu là: ∃ n ∈ N : n ⋮ 5 ¯ ≡ ∀ n ∈ N , n ⋮ 5 ¯ {\displaystyle {\overline {\exists n\in \mathbb {N} :n\ \vdots \ 5}}\equiv \forall n\in \mathbb {N} ,{\overline {n\ \vdots \ 5}}}
- Moi\ tam\ giac\ deu\ khong\ la\ phai\ la\ tam\ giac\ can ¯ {\displaystyle {\overline {\textrm {Moi\ tam\ giac\ deu\ khong\ la\ phai\ la\ tam\ giac\ can}}}}
- Nguoi\ Viet\ Nam\ nao\ chang\ noi\ thao\ tieng\ Anh ¯ {\displaystyle {\overline {\textrm {Nguoi\ Viet\ Nam\ nao\ chang\ noi\ thao\ tieng\ Anh}}}}
≡ Co\ it\ nhat\ mot\ nguoi\ Viet\ Nam\ khong\ noi\ thao\ tieng\ Anh. {\displaystyle \equiv {\textrm {Co\ it\ nhat\ mot\ nguoi\ Viet\ Nam\ khong\ noi\ thao\ tieng\ Anh.}}}
- Co\ it\ nhat\ mot\ so\ thuc\ x\ la\ nghiem\ cua\ phuong\ trinh x 2 − 3 x − 4 = 0 ¯ {\displaystyle {\overline {{\textrm {Co\ it\ nhat\ mot\ so\ thuc\ x\ la\ nghiem\ cua\ phuong\ trinh}}\ x^{2}-3x-4=0}}}
≡ Moi\ so\ thuc\ x\ deu\ khong\ phai\ nghiem\ cua\ phuong\ trinh x 2 − 3 x − 4 = 0 {\displaystyle \equiv {\textrm {Moi\ so\ thuc\ x\ deu\ khong\ phai\ nghiem\ cua\ phuong\ trinh}}\ x^{2}-3x-4=0} ≡ Phuong\ trinh x 2 − 3 x − 4 = 0 khong\ co\ nghiem\ thuc. {\displaystyle \equiv {\textrm {Phuong\ trinh}}\ x^{2}-3x-4=0\ {\textrm {khong\ co\ nghiem\ thuc.}}} Ký hiệu là: ∃ x ∈ R : x 2 − 3 x − 4 = 0 ¯ ≡ ∀ x ∈ R , x 2 − 3 x − 4 = 0 ¯ {\displaystyle {\overline {\exists x\in \mathbb {R} :x^{2}-3x-4=0}}\equiv \forall x\in \mathbb {R} ,{\overline {x^{2}-3x-4=0}}}
